Question

動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
（1）點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？請(qǐng)寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知定點(diǎn)T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值為1，求t的值；
（3）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AB的中點(diǎn)，直線OG與該軌跡相交于C，D兩點(diǎn)，若直線AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，求證：k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6，可得（x，y）到(-

5

，0)，(

5

，0)的距離的和為6，大于兩定點(diǎn)間的距離2

5

，故點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且a=3，c=

5

，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）|MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3，構(gòu)造函數(shù)，配方可得f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3，再進(jìn)行分類討論，利用|MT|的最小值為1，即可求t的值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，設(shè)C（x₃，y₃），則D（-x₃，-y₃）
根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，利用點(diǎn)差法，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
∴（x，y）到(-

5

，0)，(

5

，0)的距離的和為6，大于兩定點(diǎn)間的距離2

5

∴點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且a=3，c=

5

∴b²=4
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

+

y2

4

=1
（2）解：|MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3
記f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3
①當(dāng)0≤

9

5

t＜3，即0＜t＜

5

3

時(shí)，

|MT|2

min

=f(

9

5

t)=-

4

5

t2+4，
又

|MT|2

min

=1，∴-

4

5

t2+4=1，解得t=

15

2

，而t=

15

2

∉(0，

5

3

)，故舍去
②當(dāng)

9

5

t≥3，即

5

3

≤t＜3時(shí)，

|MT|2

min

=f(3)=t2-6t+9，
又

|MT|2

min

=1，∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而t=4∉[

5

3

，3)，故舍去
又t=2∈[

5

3

，3)，故t=2符合題意；綜上可知，t=2
（3）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

⇒

1

9

(x12-x22)+

1

4

(y12-y22)=0
∴k1•k2=

y1-y2

x1-x2

•

y0

x0

=

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y12-y22

x12-x22

=-

4

9

，
設(shè)C（x₃，y₃），則D（-x₃，-y₃）
由

x12 9 + y12 4 =1 x32 9 + y32 4 =1

⇒

1

9

(x12-x32)+

1

4

(y12-y32)=0，
∴k3•k4=

y1-y3

x1-x3

•

y1+y3

x1+x3

=

y12-y32

x12-x32

=-

4

9

，
同理k5•k6=-

4

9

，
∴k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查配方法求函數(shù)的最值，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確分類，合理運(yùn)用點(diǎn)差法．