Question

一幾何體如圖所示，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．FC⊥平面ABCD，CB=CD=CEF=1．
（1）求證：AC⊥平面BCF；
（2）求二面角F-BD-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得∠ADB=90°，由AC⊥BC，F(xiàn)C⊥平面ABCD，得AC⊥FC，由此能證明AC⊥面BCF．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面BDC的一個法向量和平面BDF的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角F-BD-C的余弦值．

解答： 解：（1）證明：連結AC，∵四邊形ABCD是等腰梯形，CB=CD，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADB=90°，
∵AC⊥BC，F(xiàn)C⊥平面ABCD，
∴AC⊥FC，又BC∩FC=C，
∴AC⊥面BCF．
（2）解：由（1）知AC⊥CB，設CB=1，
則CA=BD=

3

，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標系，
F（0，0，1），B（0，1，0），D（

3

2

，-

1

2

，0），
向量

n

=（0，0，1）是平面BDC的一個法向量，
設

m

=（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，
則

m • BD = 3 2 x- 3 2 y=0 m • FB =y-z=0

，
取y=1，得

m

=（

3

，1，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

5

=

5

5

，
∴二面角F-BD-C的余弦值為

5

5

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．