【題目】(本小題滿分14分)

如圖,四邊形是正方形,均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn).

1)求證:

2)求二面角的平面角的正弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2.

【解析】試題分析:第(1)小題設(shè)計(jì)為證明,只需證明平面;第(2)小題求二面角的大小,解決方法多樣,既可以用綜合法,也可以用向量法求解.

試題解析:(1)證明:的中點(diǎn),且,

∵ △均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

,

,平面平面,

平面

平面

四邊形是正方形

,平面,平面,

平面

平面,

平面,平面

平面

平面,

2)解法1:作,連接,

平面,平面

平面,平面,

平面

平面,

∴∠為二面角的平面角.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,則,

Rt△中,在Rt△中,

,,

Rt△中,

所以二面角的平面角的正弦值為

解法2:以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,軸 ,

建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),

,,,

設(shè)平面的法向量為,由

,得,為平面的一個(gè)法向量.

平面,平面平面平面

連接,則

平面平面,平面,

平面

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)二面角的平面角為,

二面角的平面角的正弦值為

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B. 如果平面平面,平面平面, ,那么直線平面

C. 如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

D. 一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交,則必與另一個(gè)平面相交

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