Question

已知數(shù)列{a_n}，首項a ₁=3且2a _n=S _n•S _n-1 （n≥2）．
（1）求證：{}是等差數(shù)列，并求公差；
（2）求{a _n }的通項公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在自然數(shù)k₀，使得當自然數(shù)k≥k₀時使不等式a_k＞a_k+1對任意大于等于k的自然數(shù)都成立，若存在求出最小的k值，否則請說明理由．

Answer 1

解：（1）．由已知當n≥2時2a_n=S_n•S_n-1得：2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1（n≥2）?（n≥2）?是以為首項，公差d=-的等差數(shù)列．
（2）．∵=，
從而，
∴
（3）.
分析：（1）由已知中2a _n=S _n•S _n-1，我們易可2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1，兩這同除S_n•S_n-1后，即可得到（n≥2），即數(shù)列{}是以為公差等差數(shù)列，再由首項a ₁=3，代入求出數(shù)列{}的首項，即可得到數(shù)列{}的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合2a _n=S _n•S _n-1，我們可以得到n≥2時，{a _n }的通項公式，結(jié)合首項a ₁=3，我們可以得到{a _n }的通項公式；
（3）令a_k＞a_k+1解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據(jù)k∈N，即可得到滿足條件的k值．
點評：本題考查的知識點是等差關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的遞推公式．要判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列最常用的辦法就是根據(jù)定義，判斷a_n-a_n-1是否為一個常數(shù)．