Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． [來源:學(xué)科

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為；（2）

【解析】

試題分析：（1）先求，解不等式，并和定義域求交集，得單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式，并和定義域求交集，得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)

，由題意得，，求，并解的根，討論根與定義域的位置關(guān)系，若根在定義域外，則函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值；若根是內(nèi)點(diǎn)，則將定義域分段，分別考慮導(dǎo)函數(shù)符號，判斷函數(shù)的大致圖象，并求最大值．

（1）當(dāng)時，，

，由，得；由，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)圖像上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，只需即可.由

，

（ⅰ）當(dāng)時，，故，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立，（ⅱ）當(dāng)時，令，得，①若，即，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，時，，此時不滿足條件，②若，即時，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，此時不滿足條件，

當(dāng)是，由，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719310458598147/SYS201411171931262742960815_DA/SYS201411171931262742960815_DA.046.png">，所以，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．