Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an﹣2．
（1）求a1 ， a2 ， a3并由此猜想an的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a1﹣2，解得a1=2．

當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=2a2﹣2，解得a2=4．

當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．

猜想：an=2n．

（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，顯然猜想成立．

假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即ak=2k．

則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=2ak+1﹣2．

∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2，

∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2，

∴ak+1=2ak=22k=2k+1．

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．

∴an=2n．

【解析】（1）分別令n=1，2，3代入條件式解出a1 ， a2 ， a3 ， 根據(jù)前三項(xiàng)的特點(diǎn)猜想通項(xiàng)公式；（2）先驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，利用條件式推導(dǎo)ak+1 ， 得出n=k+1時(shí)猜想成立．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的定義和表示和數(shù)學(xué)歸納法的定義，需要了解數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能得出正確答案．