Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）是某簡諧運動的函數解析式，如圖為該函數在一個周期內的圖象，A為圖象的最高點，坐標為A（

2

3

，2

3

）、B、C為圖象與x軸的交點，且為正三角形．
（1）求該簡諧運動的函數解析式；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+2）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用正弦型函數的函數圖象確定函數的解析式．
（2）利用三角函數的誘導關系變換直接求出函數的值．

解答： 解：（1）根據函數的圖象A為圖象的最高點，坐標為A（

2

3

，2

3

）、
則：A=2

3

由于B、C為圖象與x軸的交點，且為正三角形．
根據A=2

3

，△ABC為正三角形
解得：BC=4，
則：函數圖象的周期T=

2π

ω

=8
解得：ω=

π

4

當x=

2

3

時，f(

2

3

)=2

3

（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）
則：φ=

π

3

所以：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
（2）由（1）得：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
已知：x0∈(-

10

3

，

2

3

)
則：-

π

2

＜

πx0

4

+

π

3

＜

π

2

解得：sin(

π

4

x0+

π

3

)=

4

5

所以：cos(

π

4

x0+

π

3

)=

3

5

則：f(x0+2)=2

3

sin(

π

4

x0+

π

2

+

π

3

)=-2

3

cos(

π

4

x0+

π

3

)=-

6 3

5

所以函數值為：f（x₀+2）=-

6 3

5

點評：本題考查的知識要點：利用正弦型函數的圖象確定函數的解析式，主要確定A，ω，φ的值，利用誘導公式進行函數的求值．屬于基礎題型．