Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=|x+\frac{1}{a}|+|x-a|（a＞0）$．
（1）求證：f（x）≥2；
（2）若f（2）＜4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|a|+|$\frac{1}{a}$|，再利用基本不等式證得|a|+|$\frac{1}{a}$|≥2，從而證得結(jié)論．
（2）f（2）＜3，即|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜3，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 （1）證明：由a＞0，
得|x+$\frac{1}{a}$|+|x-a|≥|（x+$\frac{1}{a}$）-（x-a）|=|$\frac{1}{a}$+a|=$\frac{1}{a}$+a≥2，
即f（x）≥2．
（2）解：由f（2）＜4，得|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜4，
①當(dāng)0＜a＜2時，|2+$\frac{1}{a}$|+|2-a|＜4，
故2+$\frac{1}{a}$+2-a＜4，
解得：1＜a＜2，
②當(dāng)a≥2時，|2+$\frac{1}{a}$|+||2-a|＜4，
故2+$\frac{1}{a}$+2-a＜4，
解得：2≤a＜2+$\sqrt{3}$，
綜上得：1＜a＜2+$\sqrt{3}$，
即實數(shù)a的取值范圍是（1，2+$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．