Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，PA=PC，二面角P﹣AC﹣B的大小為60°；

（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求AB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD⊥AC，PD⊥AC，BD∩PD=D，

∴AC⊥面PBD，

又AC面PAC，所以 面PAC⊥面PBD，

即平面平面PBD⊥平面PAC

（2）解：如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），

令A（1，0，0），則B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

又∠PDB為二面角P﹣AC﹣B的平面角，得∠PDB=60°，

設DP=λ，則P（0， ， λ），

設 =（x，y，z）為面PAC的法向量，則 =（﹣2，0，0）， =（﹣1， ， λ），

得 取y= ，得 =（0， ，﹣1），

又 =（﹣1， ，0）得 cos＜ ， ＞= ，

∴AB與平面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）證明AC⊥面PBD，即可證明平面PBD⊥平面PAC；（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB與平面PAC所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．