Question

如圖（1）所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，點B、C在線段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點B₁、P；作CC₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點C₁、Q．現(xiàn)將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得A′A₁′與AA₁重合，構(gòu)成如圖（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，連接AQ與A₁P，求四面體AA₁QP的體積；
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直線PQ與直線AC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求直線間的夾角、距離,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由勾股定理逆定理，可得BC⊥AB，再由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得證；
（2）求出三角形APA₁的面積和Q到面APA₁距離，運用棱錐的體積公式，即可得到；
（3）以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出向量AC，PQ的坐標，由向量的夾角公式，即可得到．

解答： （1）證明：因為AB=3，BC=4，
所以圖（2）中AC=5，
從而有AC²=AB²+BC²，即BC⊥AB．
又因為BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面ABB₁A₁，
則AP⊥BC；
（2）解：S△APA1=

1

2

AA1•AB=18，
由于CQ∥面APA₁且BC⊥面APA₁，
所以Q到面APA₁距離就是BC的長4，
所以VQ-APA1=

1

3

×18×4=24；
（3）解：以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．
所以

AC

=（-3，4，0），

PQ

=（0，4，4），
設直線AC與直線PQ所成角為θ，
則cosθ=

| AC • PQ |

| AC |•| PQ |

=

16

5×4 2

=

2 2

5

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)定理及運用，考查棱錐的體積公式，以及異面直線所成的角的求法，注意運用坐標法解決，屬于中檔題．