Question

已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓標準方程；
（2）設直線l₁：y=x+m，直線l₁與（1）中的橢圓有兩個不同的交點M、N，求m的取值范圍；
（3）直線l₂：x=ty+1，t∈R與（1）中的橢圓有兩個不同的交點P，Q，當△OPQ的面積S取到最大值時，求直線l₂的方程．（O是坐標原點）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知條件得b=1，e=

c

a

=

6

3

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=x+m x2 3 +y2=1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，由此利用根的判別式，能求出m的取值范圍．
（3）直線l₂方程：x=ty+1，t∈R，代入橢圓方程，得（t²+3）y²+2ty-2=0，由此能求出當△OPQ的面積S取到最大值時，直線l₂的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓的一個頂點為A（0，-1），
焦點在x軸上，離心率e=

6

3

，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且b=1，∴a²-c²=1，
又e=

c

a

=

6

3

，解得：a²=3…（3分）
∴所求橢圓的方程為

x2

3

+y²=1．…（4分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y=x+m x2 3 +y2=1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，…（6分）
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=36m²-16（3m²-3）＞0
解得：-2＜m＜2，
∴m的取值范圍是（-2，2）．…（8分）
（3）直線l₂方程：x=ty+1，t∈R，
代入橢圓方程，整理得：（t²+3）y²+2ty-2=0，
△=4t²+8（t²+3）＞0恒成立．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=-

2t

t2+3

，y1y2=-

2

t2+3

…（9分）S△POQ=S△POD+S△QOD=

1

2

•1•|y1-y2|=

1

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

•

4t2 (t2+3)2 + 8 t2+3

=

3

•

t2+2

t2+3

=

3

t2+2 + 1 t2+2

…（12分）
令u=

t2+2

≥

2

，則S=

3

u+ 1 u

，
令f(u)=u+

1

u

，u≥

2

是減函數(shù)
∴當t=0，即u=

2

時，Smax=

6

3

，
此時l₂方程：x=1．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積取最大值時直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運用．