Question

已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求點B到平面EFG的距離．

Answer 1

如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．
BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設矛盾．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．
∵BD⊥AC，
∴EF⊥HC．
∵GC⊥平面ABCD，
∴EF⊥GC，
∴EF⊥平面HCG．
∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．
作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，
∴AC=4

2

，HO=

2

，HC=3

2

．
∴在Rt△HCG中，HG=

(3 2 )2+22= 22

．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴OK=

HO?GC

HG

=

2 ×2

22

=

2 11

11

．
即點B到平面EFG的距離為

2 11

11

．