Question

【題目】已知函數(shù)， ，（ ）.

（1）討論函數(shù)在上零點的個數(shù)；

（2）若有兩個不同的零點， ，求證： .

（參考數(shù)據(jù)： 取， 取， 取）

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)對函數(shù)求導(dǎo)有： ，（ ）分類討論可得：

當(dāng)時， 在上無零點；

當(dāng)或時， 在上有唯一零點；

當(dāng)時， 在上有兩個零點.

(2)由題知作差變形，原問題等價于

設(shè)， ，都在函數(shù)（），

利用對稱差函數(shù)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）由題得， ，（ ）

當(dāng)時， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時，

①當(dāng)即時無零點，故在上無零點.

②即時，由單調(diào)性可知在上有唯一零點為.

③即時，由于，

（�。┤�即顯然

由單調(diào)性可知在上有兩個零點.

（ⅱ）即，由單調(diào)性可知在上只有一個零點.

綜上，當(dāng)時， 在上無零點；

當(dāng)或時， 在上有唯一零點；

當(dāng)時， 在上有兩個零點.

（2）由題知， ，

兩式相加得，

兩式相減得即

∴

即

不妨設(shè)， ，令（），

則∴在上單調(diào)遞增，

則，∴即

∴

又

∴，即

令， ∴，∴在上單調(diào)遞增，

又

∴，即.