在直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：y=kx+1沿x軸向左平移1個(gè)單位，再沿y軸向上平移
3
個(gè)單位，回到原來的位置，直線l2過（4，0）且與l1垂直，以O(shè)為圓心的圓O與直線l2相切
（1）求圓O方程；
（2）圓O與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P為圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且|PQ|2，|PO|2，|OA|2成等差數(shù)列，求
PA
•
PB
的取值范圍．
分析：（1）先確定直線l1的斜率，從而可得線l2的方程，利用圓O與直線l2相切，求出圓的半徑，可得圓的方程；
（2）確定P的軌跡方程，利用向量數(shù)量積公式求出數(shù)量積，從而可求
PA
•
PB
的取值范圍．
解答：解：（1）直線l1：y=kx+1沿x軸向左平移1個(gè)單位，再沿y軸向上平移
3
個(gè)單位，可得y=kx+1+k+
3

∵回到原來的位置，∴k=-
3

∵直線l2過（4，0）且與l1垂直，∴直線l2的方程為y=
3
3
（x-4），即x-
3
y-4=0
∵圓O與直線l2相切，∴r=
4
1+3
=2，∴圓O方程為x2+y2=4；
（2）不妨設(shè)A（-2，0），B（2，0），P（x，y）
∵|PQ|2，|PO|2，|OA|2成等差數(shù)列，
∴2|PO|2=|PQ|2+|OA|2，
∴4y2+4=2（x2+y2），即x2-y2=2
∴
PA
•
PB
=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2-4+y2=2（y2-1）
∵P為圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，∴
x2+y2＜4
x2-y2=2
，∴0≤y2＜1，∴-2≤2（y2-1）＜0
∴
PA
•
PB
的取值范圍為[-2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程的求解，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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