【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于、兩點.
(1)求證:“如果直線過點,那么”是真命題;
(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo)根據(jù)向量的點乘運算求證即可,
(2)把(1)中題設(shè)和結(jié)論變換位置然后設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo)根據(jù)向量運算求證即可.
試題解析:
證明:(1)設(shè)過點的直線交拋物線于點,
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時,
直線與拋物線相交于點、,∴
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,其中
由得,則
又∵, ,∴
綜上所述,命題“如果直線過點,那么”是真命題.
(2)逆命題是:設(shè)直線交拋物線于、兩點,
如果,那么直線過點,
該命題是假命題.
例如:取拋物線上的點, .此時
直線的方程為,而不在直線上.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射箭比賽,為此需要對他們的射箭水平進行測試.現(xiàn)這兩名學(xué)生在相同條件下各射箭10次,命中的環(huán)數(shù)如下:
甲 | 8 | 9 | 7 | 9 | 7 | 6 | 10 | 10 | 8 | 6 |
乙 | 10 | 9 | 8 | 6 | 8 | 7 | 9 | 7 | 8 | 8 |
(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差;
(2)比較兩個人的成績,然后決定選擇哪名學(xué)生參加射箭比賽.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,直線與拋物線交于, 兩點.點 為拋物線上一動點,直線, 分別與軸交于, .
(I)若的面積為,求點的坐標(biāo);
(II)當(dāng)直線時,求線段的長;
(III)若與面積相等,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( 。
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某兒童節(jié)在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).記兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:
①若xy≤3,則獎勵玩具一個;
②若xy≥8,則獎勵水杯一個;
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,小亮準(zhǔn)備參加此項活動.
(1)求小亮獲得玩具的概率;
(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ()的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)長為,橢圓: ()的離心率為,且過拋物線的焦點.
(1)求拋物線和橢圓的方程;
(2)過定點引直線交拋物線于、兩點(在的左側(cè)),分別過、作拋物線的切線, ,且與橢圓相交于、兩點,記此時兩切線, 的交點為.
①求點的軌跡方程;
②設(shè)點,求的面積的最大值,并求出此時點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點,過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長QM交C于點B.
①設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明 為定值;
②求直線AB的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=a(x﹣2)ex+lnx+ 在(0,2)上存在兩個極值點,則a的取值范圍為( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣ , )∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣ )
D.(﹣∞,﹣ )∪(﹣﹣ ,﹣ )
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