Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：T_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，兩式作差變形可得，要注意n=1的情況．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，表示T_n=2×觀察結(jié)構(gòu)，用錯位相減法求解．
解答：解：（Ⅰ）在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，則a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即
∵∴b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1
又∴數(shù)列{b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列
于是b_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
從而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以T_n=2×

兩式相減得
=1+-（n+1）（）ⁿ⁺¹=
∴
∵
∴數(shù)列{T_n}是增數(shù)列故，命題得證．
點評：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與變形求通項公式及用錯位相減法求前n項和．