Question

A：如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點C，AD⊥CE，垂足為D．
求證：AC平分∠BAD．
B：把下列參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：
（1）

x=5cos? y=4sin?

（?為參數）；     （2）

x=1-3t y=4t

（t為參數）

Answer 1

分析：A：根據直徑所對手圓周角是直角，得到∠B+∠BAC=90°，根據AD、CE互相垂直，得到∠ACD+∠DAC=90°，再結合弦切角得到∠ACD=∠B，因此得到∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD；
B：（1）根據參數方程，變形得到

cos?= x 5 sin?= y 4

，利用同角三角函數的關系，得到普通方程為

x

25

2+

y

16

2 =1，因此可得，它表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；
（2）根據參數方程，兩式消去參數t得到x=1-

3y

4

，化簡即可得到直線方程的一般形式，因此可得，它表示的曲線為一條直線．

解答：解：（A）連接BC
∵AB是⊙O的直徑，點C在圓上，
∴∠ACB=90°，可得∠B+∠BAC=90°…（3分）
∵AD⊥CE，∴∠ADC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°…（6分）
∵AC是弦，直線CE和⊙O相切與點C
∴∠ACD=∠B，
∴∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD…（10分）
（B）（1）∵

x=5cos? y=4sin?

（?為參數）
∴

cos?= x 5 sin?= y 4

，可得

x

25

2+

y

16

2=cos2?+sin2?=1
∴化為普通方程是：

x

25

2+

y

16

2 =1，因此表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓…（5分）
（2）∵

x=1-3t       ① y=4t          ②

（t為參數）
∴根據②得t=

y

4

，將它代入①，得x=1-

3y

4

整理得普通方程是：4x+3y-4=0，
因此表示的曲線為經過x軸上點（1，0），斜率為-

4

3

的直線…（10分）

點評：本題第一小問以直徑所對的圓周角和弦切角為載體，考查了圓中證明角相等及等角的余角等知識點，屬于基礎題．第二小問以參數方程化為普通方程為例，考查了直線的參數方程形式、同角三角函數的關系等知識點，屬于基礎題．