Question

15．已知函數(shù)g（x）=sinx+acosx+2017滿足g（x）+g（$\frac{7π}{3}$-x）=4034，又f（x）=asinx+cosx對(duì)任意x恒有f（x）≤|f（x₀）|，則滿足條件的x₀可以是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． 以上選項(xiàng)均不對(duì)

Answer 1

分析 令g（x）=h（x）+2017，由題意可得函數(shù)h（x）的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），由h（$\frac{π}{6}$）=0，求得 θ 和a的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)f（x₀）為函數(shù)f（x）的最值求得x₀的值．

解答 解：函數(shù)g（x）=sinx+acosx+2017=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ）+2017=h（x）+2017，
其中，tanθ=a，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
∵g（x）+g（$\frac{7π}{3}$-x）=4034，g（x）的最小正周期為2π，∴g（x）+g（$\frac{π}{3}$-x）=4034，
即 $\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ）+2017+$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（$\frac{π}{3}$-x+θ）+2017=4034，
∴$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ）+$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（$\frac{π}{3}$-x+θ）=0，
故函數(shù)h（x）=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+θ） 的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為$\frac{x+\frac{π}{3}-x}{2}$=$\frac{π}{6}$，
即函數(shù)h（x）的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），
故h（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（$\frac{π}{6}$+θ）=sin$\frac{π}{6}$+acos$\frac{π}{6}$=0，∴θ=-$\frac{π}{6}$，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故f（x）=asinx+cosx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+$\frac{2π}{3}$），
故當(dāng)x+$\frac{2π}{3}$=2kπ±$\frac{π}{2}$，即 x=2kπ-$\frac{π}{6}$ 或x=2kπ-$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最值，|
f（x）|取得最大值為|f（x₀）|，
 結(jié)合所給的選項(xiàng)，x₀可以是$\frac{5π}{6}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式、兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．