Question

在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，公比q∈（0，1）．若a₃+a₅=5，a₂a₆=4，b_n=log₂a_n數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則當

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值，則n的值為（　　）

Answer 1

分析：由題意求出等比數(shù)列的公比，然后求出等比數(shù)列的通項公式，代入b_n=log₂ a_n，得到數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，寫出c_n=

Sn

n

=

9-n

2

知，當為非負值時，

S1

1

+

S2

2

+…

Sn

n

取最大值．

解答：解：∵{a_n}是等比數(shù)列且a₃+a₅=5，a₂a₆=4，公比q∈（0，1）．a(chǎn)₃=4，a₅=1
∴

a3+a5=5 a3a5=4

解得：a₃=4，a₅=1
∴q=

1

2

，∴a₁=16
則an=16•(

1

2

)n-1
∴bn=log2an=log2(16•

1

2n-1

)=log225-n=5-n
則b₁=4，
由b_n+1-b_n=5-（n+1）-（5-n）=-1．
∴數(shù)列{b_n}是以4為首項，以-1為公差的等差數(shù)列．
則數(shù)列{b_n}的前n項和
Sn=

n(4+5-n)

2

=

n(9-n)

2

令cn=

Sn

n

=

n(9-n)

2n

=

9-n

2

∵c_n≥0時，n≤9
∴當n=8或9時，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值．
故選C．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差關(guān)系的確定以及數(shù)列求最值等知識，是中檔題