Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，平面平面，且.

（1）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，證明你的結(jié)論；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）

【解析】

（1）容易判斷出點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得到，再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，找出兩兩垂直的關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）存在點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)

證明：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)交于，

∵平行四邊形，∴為的中點(diǎn)，

連結(jié)，則，

∵平面，平面，∴平面.

（2）∵，

∴，∴，，∴，

又∵平面平面，∴平面，平面，

以為軸，為軸，為軸，如圖建系：

則，，，，

∴，

∴為平面的一個(gè)法向量，

令平面的一個(gè)法向量為，

∴取，，

∴平面的一個(gè)法向量為，

令二面角為，由題意可知為銳角，

則.