已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
（1）橢圓方程為；（2）存在定點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) 

試題分析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標(biāo)軸平行的特殊情況，當(dāng)與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為；當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個(gè)圓的交點(diǎn)：
若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為 
接下來(lái)就一般情況證明為所求 設(shè)直線，則，將與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
又斜邊長(zhǎng)為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明 設(shè)直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)                  （13分）
注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問(wèn)題也可求解
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

知橢圓的兩焦點(diǎn)、，離心率為，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線的方程，使的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(1)若P（,）,Q（,1）,求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若θ＝90°，，求實(shí)數(shù)m；
(3)試問(wèn)的值是否與θ的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若兩曲線在交點(diǎn)P處的切線互相垂直，則稱該兩曲線在點(diǎn)P處正交，設(shè)橢圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交，則橢圓的離心率為（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)，離心率為.過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn))，設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P，已知橢圓C的離心率為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1、F2分別是橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓＝1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，一直線過(guò)F1交橢圓于P、Q，則△PQF2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案