Question

15．已知向量$\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow b$是單位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，若$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，則$|{\overrightarrow c}|$的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由條件即可取$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，1），\overrightarrow{c}=（x，y）$，進(jìn)而可求出$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)，從而可得到（x-1）²+（y-1）²=1，這樣即可設(shè)x=cosα+1，y=sinα+1，從而求出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，這樣即可求出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件，取$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，1），\overrightarrow{c}=（x，y）$；
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（x-1，y-1）$；
∵$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=1$；
∴（x-1）²+（y-1）²=1；
設(shè)$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα+1}\\{y=sinα+1}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（cosα+1）^{2}+（sinα+1）^{2}}$=$\sqrt{3+2（sinα+cosα）}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$；
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=1$時(shí)，$|\overrightarrow{c}|$取最大值$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$．
故選：D．

點(diǎn)評 考查引入坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法，以及兩角和的正弦公式．