Question

7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)，A，B分別為Γ的左、右頂點(diǎn)，P為Γ上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，直線 BM與y軸交于點(diǎn)N，若|OE|=2|ON|，則 Γ的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出直線AE和BN的方程，求出N，E的坐標(biāo)，利用|OE|=2|ON|的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵PF⊥x軸，
∴設(shè)M（-c，t），則A（-a，0），B（a，0），
AE的斜率k=$\frac{t}{a-c}$，則AE的方程為y=$\frac{t}{a-c}$（x+a），
令x=0，則y=$\frac{ta}{a-c}$，即E（0，$\frac{ta}{a-c}$），
BN的斜率k=-$\frac{t}{a+c}$，則BN的方程為y=-$\frac{t}{a+c}$（x-a），
令x=0，則y=$\frac{ta}{a+c}$，即N（0，$\frac{ta}{a+c}$），
∵|OE|=2|ON|，
∴2|$\frac{ta}{a+c}$|=|$\frac{ta}{a-c}$|，
即$\frac{2}{a+c}$=$\frac{1}{c-a}$，
則2（c-a）=a+c，
即c=3a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=3，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出直線方程和點(diǎn)N，E的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．