Question

已知圓x²+y²-9x=0與頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線交于A，B兩點(diǎn)，△AOB的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁）則可得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線方程為y²=2px，根據(jù)F為△AOB的垂心可得AF⊥OB，可得x₁和y₁關(guān)系式，又根據(jù)A在圓上和拋物線上，分別可得x₁和y₁的另兩個(gè)方程，最后聯(lián)立消去x₁和y₁即可求的p，進(jìn)而拋物線方程可得．

解答：解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁）則B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-y₁），設(shè)拋物線方程為y²=2px，則焦點(diǎn)F（

p

2

，0）
∵F為△AOB的垂心AF⊥OB，
∴（

p

2

-x₁）x₁+y₁²=0①
∵A在圓上，∴x²₁+y²₁-9x₁=0②
∵A在拋物線上，∴y²₁=2px₁，③
①②③聯(lián)立方程消去x₁，y₁，求得p=2
故拋物線方程為y²=4x，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線與其他圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力．