設橢圓的左焦點為，直線與軸交于點，過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：點在以線段為直徑的圓上；

（Ⅲ）在直線上有兩個不重合的動點，以為直徑且過點的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．

 

【答案】

（1）

（2）（2）把直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y，設出A，B的坐標，則可求得x1+x2=-3x1x2，進而分別表示出F1A和AF1B斜率，進而求得kF1A?kF1B的值

（3）

【解析】

試題分析：解: (Ⅰ)可知直線              2分

由,,解得,

所以，橢圓的方程為．             4分

(Ⅱ)聯(lián)立方程組  整理得:,

設,則,

因為,所以

所以點在以線段為直徑的圓上．            10分

(3)面積最小的圓的半徑長應是點 到直線的距離．  11分

設為 即面積最小的圓的半徑長為   13分

考點：直線與圓錐曲線

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三5月模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂

直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

（3）當P不在軸上時，在曲線上是否存在兩個不同點C、D關于對稱，若存在，

求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：河北省高三下學期第二次考試數(shù)學（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：河北省高三下學期第二次考試數(shù)學（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆遼寧省營口市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測理科數(shù)學 題型：解答題

設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直

   線與橢圓 相交于,兩點，直線的傾斜角為， 到直線的距離為；

（1）求橢圓的焦距；

（2）如果,求橢圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

( 本小題滿分12分)

       設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直

   線與橢圓 相交于,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為；

（1）求橢圓的焦距；

（2）如果,求橢圓的方程.

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