Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和sn=n2+n，(n∈N+)，數(shù)列{b_n}滿足bn+1=2bn-1，(n∈N+)且b₁=5
（1）求數(shù)列{a_n}{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，且cn=

1

an•log2(bn-1)

，證明：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合已知條件可得a₁=S₁=2，利用公式a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，再由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），由等比數(shù)列的定義可得{b_n-1}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求b_n-1進(jìn)一步可得b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）確定數(shù)列通項，利用裂項求和可求先求T_n，進(jìn)一步可證結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當(dāng)n=1時，2n=2=a₁，所以a_n=2n；
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）證明：cn=

1

an•log2(bn-1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）
∴Tn＜

1

2

．

點評：本題主要考查已知前n項和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項公式以及已知遞推關(guān)系求通項，考查裂項法求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．