Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，AD=PD=2，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)．
（I）求證：AP∥平面EFG；
（II）求平面GEF和平面DEF的夾角．

Answer 1

分析：（I）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量AP和平面EFG的法向量的坐標(biāo)，計(jì)算其數(shù)量積為0即可得到結(jié)論；
（II）分別求出兩個平面的法向量，再直接代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．

解答：解：（I）如圖，以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP為方向向量
建立空間直角坐標(biāo)系D-XYZ
則P（0，0，2），C（0，2，0）G（1，2，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），A（2，0，0）
∴

AP

=（-2，0，2），

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）．
設(shè)平面EFG的法向量為

n

=（x，y，z）?
∴

n • EF =0 EG • n =0

即

-y=0 x+y-z=0

∴

x=z y=0

 令x=1，
則

n

=（1，0，1）．
∵

n

•

AP

=1×（-2）+0×0+1×2=0，
∴

AP

⊥

n

又AP不在平面EFG內(nèi)，
∴AP∥平面EFG
（II）∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥BC
又PD⊥平面ABCD
∴AD⊥PD又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
∴向量

DA

是平面PCD的一個法向量，

DA

=（2，0，0）
又由（I）知平面EFG的法向量

n

=（1，0，1）．
∴cos＜

n

，

DA

＞=

DA • n

| n |•| DA |

=

2

2 2

=

2

2

．
∴二面角G-EF-D的平面角為45°．

點(diǎn)評：本題主要考察利用空間向量求兩平面間的夾角以及向量在判斷直線和平面平行中的應(yīng)用問題．是對基礎(chǔ)知識的考察，屬于綜合題．