Question

【題目】已知焦點(diǎn)在x正半軸上，頂點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)A（1，﹣2）．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)M、N，且△MNO（O為原點(diǎn)）的面積為2 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：令拋物線的方程為y2=2px（p＞0）．將點(diǎn)A（1，﹣2）的坐標(biāo)代入方程，得p=2，

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x

（2）解：若直線l⊥x軸，則M（1，2），N（1，﹣2），此時(shí)△MNO的面積為2，不合題設(shè)；

若直線l與x軸不垂直，令M（x1，y1），N（x2，y2），l：y=k（x﹣1）（k≠0），將其代入拋物線方程y2=4x，并整理得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，

則x1+x2=2+ ，x1x2=1．

于是|MN|=x1+x2+p=

又原點(diǎn)到直線l的距離為d= ，

則2 = |MN|d= ，

解得，k=﹣1或1．

綜上，所求直線l的方程為y=﹣x+1或y=x﹣1

【解析】（1）令拋物線的方程為y2=2px（p＞0）．將點(diǎn)A（1，﹣2）的坐標(biāo)代入方程，得p的值，可得拋物線C的方程；（2）分類討論，設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合面積公式，即可求直線l的方程．