分析:(1)作PM⊥C1D1于M點,則M為C1D1的中點,連接AM.由正方體的性質(zhì)和面面垂直性質(zhì)定理,證出PM⊥平面A1B1C1D1,得∠PA1M就是直線PA1與平面A1B1C1D1所成角.Rt△PA1M中算出A1M、PM的長,求出tan∠PA1M的值,即可得到直線PA1與平面A1B1C1D1所成角的正切值;
(2)由(1)的結(jié)論,證出PM與AA1平行且相等,因此四邊形AMPA1是平行四邊形,得PA1∥AM,利用直線與平面平行的判定定理即可證直線PA1平行于平面ABC1D1;
(3)由前面的結(jié)論PA1∥平面ABC1D1,得P點到平面ABC1D1的距離等于于A1到平面ABC1D1的距離,因此在正方體ABCD-A1B1C1D1中求出點A到平面ABC1D1的距離,即得點P到平面ABC1D1的距離.
解答:解:(1)作PM⊥C
1D
1于M點,則M為C
1D
1的中點,連接AM.
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是棱長為1的正方體,P∈平面DCC
1D
1,
∴平面PC
1D
1⊥平面A
1B
1C
1D
1∵平面PC
1D
1∩平面A
1B
1C
1D
1=C
1D
1,PM⊥C
1D
1∴PM⊥平面A
1B
1C
1D
1,可得∠PA
1M就是直線PA
1與平面A
1B
1C
1D
1所成角
∵PD
1=PC
1=
,∴PM=
=
=1
Rt△PA
1M中,A
1M=
=
∴tan∠PA
1M=
=
,
即直線PA
1與平面A
1B
1C
1D
1所成角的正切值等于
;
(2)連結(jié)AM,由(1)得PM=AA
1=1
又∵PM⊥平面A
1B
1C
1D
1,AA
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,
∴PM∥AA
1,可得四邊形AMPA
1是平行四邊形,得PA
1∥AM
∵PA
1?平面ABC
1D
1,AM?平面ABC
1D
1,
∴PA
1∥平面ABC
1D
1;
(3)連接A
1D,則A
1D⊥AD
1,設(shè)垂足為O.
∵平面ABC
1D
1⊥平面ADD
1A
1,平面ABC
1D
1∩平面ADD
1A
1=AD
1∴A
1D⊥平面ABC
1D
1由正方體的性質(zhì),可得點A
1到平面ABC
1D
1的距離A
10=
由(2)PA
1∥平面ABC
1D
1,可得點P到平面ABC
1D
1的距離即為點A
1到平面ABC
1D
1的距離.
∴點P到平面ABC
1D
1的距離為
.
點評:本題給出正方體上拓展出一個四棱錐,求線面所成角的正切,證明線面平行并且求點到平面的距離.著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理和點面距離的求法等知識,屬于中檔題.