(2008•如東縣三模)如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體,P-A1B1C1D1是四棱錐,且P∈平面DCC1D1,PD1=PC1=
5
2

(1)求直線PA1與平面A1B1C1D1所成角的正切值;
(2)求證:直線PA1平行于平面ABC1D1;
(3)求點P到平面ABC1D1的距離.
分析:(1)作PM⊥C1D1于M點,則M為C1D1的中點,連接AM.由正方體的性質(zhì)和面面垂直性質(zhì)定理,證出PM⊥平面A1B1C1D1,得∠PA1M就是直線PA1與平面A1B1C1D1所成角.Rt△PA1M中算出A1M、PM的長,求出tan∠PA1M的值,即可得到直線PA1與平面A1B1C1D1所成角的正切值;
(2)由(1)的結(jié)論,證出PM與AA1平行且相等,因此四邊形AMPA1是平行四邊形,得PA1∥AM,利用直線與平面平行的判定定理即可證直線PA1平行于平面ABC1D1;
(3)由前面的結(jié)論PA1∥平面ABC1D1,得P點到平面ABC1D1的距離等于于A1到平面ABC1D1的距離,因此在正方體ABCD-A1B1C1D1中求出點A到平面ABC1D1的距離,即得點P到平面ABC1D1的距離.
解答:解:(1)作PM⊥C1D1于M點,則M為C1D1的中點,連接AM.
∵ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體,P∈平面DCC1D1,
∴平面PC1D1⊥平面A1B1C1D1
∵平面PC1D1∩平面A1B1C1D1=C1D1,PM⊥C1D1
∴PM⊥平面A1B1C1D1,可得∠PA1M就是直線PA1與平面A1B1C1D1所成角
∵PD1=PC1=
5
2
,∴PM=
D1P2-D1M2
=
5
4
-
1
4
=1
Rt△PA1M中,A1M=
1+
1
4
=
5
2

∴tan∠PA1M=
PM
A1M
=
2
5
5
,
即直線PA1與平面A1B1C1D1所成角的正切值等于
2
5
5
;
(2)連結(jié)AM,由(1)得PM=AA1=1
又∵PM⊥平面A1B1C1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1,
∴PM∥AA1,可得四邊形AMPA1是平行四邊形,得PA1∥AM
∵PA1?平面ABC1D1,AM?平面ABC1D1
∴PA1∥平面ABC1D1;
(3)連接A1D,則A1D⊥AD1,設(shè)垂足為O.
∵平面ABC1D1⊥平面ADD1A1,平面ABC1D1∩平面ADD1A1=AD1
∴A1D⊥平面ABC1D1
由正方體的性質(zhì),可得點A1到平面ABC1D1的距離A10=
2
2

由(2)PA1∥平面ABC1D1,可得點P到平面ABC1D1的距離即為點A1到平面ABC1D1的距離.
∴點P到平面ABC1D1的距離為
2
2
點評:本題給出正方體上拓展出一個四棱錐,求線面所成角的正切,證明線面平行并且求點到平面的距離.著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理和點面距離的求法等知識,屬于中檔題.
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1
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2
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8

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3
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2
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k
2010
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