Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，M為DD₁的中點，O為AC的中點．求證：
（1）BD₁∥平面ACM
（2）B₁O⊥平面ACM．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，則BD與AC的交點為O，連接OM，可以證出OM是三角形BDD₁的中位線，得到OM∥BD₁，最后用直線與平面平行的判定定理可以證出BD₁∥平面ACM；
（2）首先在矩形BB₁D₁D中，利用直角三角形的正切定義得到∠MOD=∠BB₁O，從而證出MO⊥B₁O，然后利用直線AC與平面BB₁D₁D證出AC⊥B₁O，最后用直線與平面垂直的判定定理，可得到B₁O⊥平面ACM．
解答：解：（1）連接BD，則BD與AC的交點為O
∵四邊形ABCD是正方形
∴O為BD中點
連接OM，在△BDD₁中，O、M分別是BD、DD₁的中點
∴OM∥BD₁
又∵OM?平面AC，MB?平面DACM
∴BD₁∥平面ACM
（2）連接B1D₁，在矩形BB₁D₁D中，BD=
∴Rt△MDO中，MD==1
∴tan∠MOD=
同理，Rt△BOB₁中，tan
∴銳角∠MOD=∠BB₁O=90°-∠B₁OB⇒∠MOD+∠B₁OB=90°
∴∠MOB₁=90°⇒MO⊥B₁O
∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥BB₁
∵AC⊥BD，BD∩BB₁=B
∴AC⊥平面BB₁D₁D，結(jié)合B₁O?平面BB₁D₁D
∴AC⊥B₁O
∵MO∩AC=O
∴B₁O⊥平面ACM．
點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．