Question

（本題滿分12分）

已知點P（-1,）是橢圓E：（）上一點，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，（0<λ<4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；

（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵PF₁⊥x軸，

∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），

|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，

橢圓E的方程為：；…………………3分

⑶設直線AB的方程為y=x+t，

與聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,

△=3（4-t²），

AB|=，

點P到直線AB的距離為d=,

△  PAB的面積為S=|AB|×d=,  ………10分

設f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），

f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．

當t∈（-2,-1）時，f’（t）>0，當t∈（-1,2）時，f’（t）<0，f（t）=-1時取得最大值，

所以S的最大值為．

此時x₁+x₂=-t=1=-2，=3．……………………………………12分

 

【解析】略