F1、F2為雙曲線C：（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，且滿足∠MAB=30°，則該雙曲線的離心率為    ．
【答案】分析：先根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合∠MAB=30°求出a，b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率即可．
解答：解：由題得以F1F2為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為：c；
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=c2；
又雙曲線的其中一條漸近線方程為：y=x
聯(lián)立可得：，即M（a，b）．
故MB垂直于AB；
所以tan∠MAB===tan30°；
即⇒=⇒===．
故雙曲線的離心率為．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察雙曲線的簡單性質(zhì)．解決本題得關(guān)鍵在于根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合∠MAB=30°求出a，b之間的關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若F1、F2為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P及N （2，
3
）均在雙曲線上，M在C的右準(zhǔn)線上，且滿足
F1O
=
PM
，
OP
•
OM
|
OP
|•|
OM
|
=
OF1
•
OP
|
OF1
|•|
OP
|
．
（1）求雙曲線C的離心率及其方程；
（2）設(shè)雙曲線C的虛軸端點(diǎn)B1、B2（B1在y軸的正半軸上），點(diǎn)A，B在雙曲線上，且
B2A
=λ
B2B
，當(dāng)
B1A
•
B1B
=0時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，
2
)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2-
y2
b2
=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點(diǎn)M，且∠MF1F2=30°，圓O的方程為x2+y2=b2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點(diǎn)Q（x0，y0）作切線l交雙曲線C于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過雙曲線C上一點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P1和P2，求
PP1
•
PP2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，
2
)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

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