Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點．

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：法一：用幾何關系證明和求值.（Ⅰ）連結交于，證即可；（Ⅱ）先證平面，再證平面即可；（Ⅲ）由三垂線定理先作出二面角的平面角，根據(jù)數(shù)據(jù)關系求之即可.

法二：建立空間直角坐標系，用空間向量證明求解.

試題解析：方法一：（Ⅰ）證明：連結交于，連結．

是正方形，∴ 是的中點．

是的中點，∴是△的中位線．

∴． 2分

又平面，平面，

∴平面． 4分

（Ⅱ）證明：由條件有

∴ 平面，且平面∴

又∵ 是的中點，∴

∴平面 平面∴ 6分

由已知 ∴平面

又平面 ∴平面平面 8分

（Ⅲ）取中點，則．作于，連結．

∵底面，∴底面．

∴為在平面內的射影．

∵,∴．

∴為二面角的平面角． 10分

設，在中，，

∴．

∴ 二面角的余弦的大小為． 12分

方法二：（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，由,可設，

則．

， ，

,即有 6分

又且．

平面． 又平面

∴平面⊥平面． 8分

（Ⅲ） 底面，∴是平面的一個法向量，．

設平面的法向量為,

, 則即, ∴

令,則． 10分

, 由作圖可知二面角為銳二面角

∴二面角的余弦值為． 12分

考點：空間直線與平面平行、垂直的性質與判定.