Question

已知函數(shù)f（x）在定義在R上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁、x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，10）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將不等式轉(zhuǎn)化為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)；再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得到函數(shù)f（x）過（0，0）點(diǎn)，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

解答： 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）過點(diǎn)（0，0）；
故不等式f（x）＜0，
解得x＞0．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題．將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（x）過（0，0）點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．