Question

設(shè)圓C₁的方程為（x-2）²+（y-3m）²=4m²，直線(xiàn)l的方程為y=x+m-1．
（Ⅰ）求C₁關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的圓C₂的方程；
（Ⅱ）當(dāng)m變化且m≠0時(shí)，求證：C₂的圓心在一條定直線(xiàn)上，并求C₂所表示的一系列圓的公切線(xiàn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ） 由圓的方程找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線(xiàn)l的斜率，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線(xiàn)C₁C₂的斜率，由圓心及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出斜率，等于求出的斜率列出一個(gè)關(guān)系式，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出兩圓心的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)l的方程，得到另一個(gè)關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立即可用m表示出a與b，把表示出的a與b代入圓C₂的方程即可；
（Ⅱ）由表示出的a與b消去m，得到a與b的關(guān)系式，進(jìn)而得到圓C₂的圓心在定直線(xiàn)上；分公切線(xiàn)的斜率不存在和存在兩種情況考慮，當(dāng)公切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，容易得到公切線(xiàn)方程為x=0；當(dāng)公切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心（a，b）到直線(xiàn)y=kx+b的距離d，當(dāng)d等于圓的半徑2|m|，化簡(jiǎn)后根據(jù)多項(xiàng)式為0時(shí)各項(xiàng)的系數(shù)為0，即可求出k與b的值，從而確定出C₂所表示的一系列圓的公切線(xiàn)方程，這樣得到所有C₂所表示的一系列圓的公切線(xiàn)方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓C₁的方程為（x-2）²+（y-3m）²=4m²，
∴圓心為（2，3m），設(shè)它關(guān)于直線(xiàn)l：y=x+m-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（a，b），
則

b-3m a-2 ×1=-1 b+3m 2 = a+2 2 +m-1

，
解得a=2m+1，b=m+1，
∴圓C₂的圓心為（2m+1，m+1），
∴圓C₂的方程為：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²，
∴C₁關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的圓C₂的方程：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ） 得
圓C₂的圓心為（2m+1，m+1），
令

x=2m+1 y=m+1

，消去m得
x-2y+1=0，
它表示一條直線(xiàn)，
故C₂的圓心在一條定直線(xiàn)上，
①當(dāng)公切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，易求公切線(xiàn)的方程為x=0；
②當(dāng)公切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，
∴

|k•(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

=2|m|，
即：（1-4k）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0
∵直線(xiàn)y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對(duì)所有的m值都成立，
∴所以有：

1-4k=0 2(2k-1)(k+b-1)=0 k+b-1=0

，
解得

k= 1 4 b= 3 4

，
∴C₂所表示的一系列圓的公切線(xiàn)方程為：y=

1

4

x+

3

4

，
∴故所求圓的公切線(xiàn)為x=0或y=

1

4

x+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及關(guān)于點(diǎn)與直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程．此題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生審清題意，綜合運(yùn)用方程與函數(shù)的關(guān)系，掌握直線(xiàn)與圓相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，在作（Ⅱ）時(shí)先用消去參數(shù)的方法求定直線(xiàn)的方程，然后采用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想分別求出C₂所表示的一系列圓的公切線(xiàn)方程．