如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,D,E分別為BC,BB1的中點,四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形.

(1)求證:A1B∥平面AC1D;

(2)求證:CE⊥平面AC1D;

(3)求二面角C-AC1-D的余弦值.

(1)連接A1C,與AC1交于O點,連接OD.

因為O,D分別為A1C和BC的中點,

所以O(shè)D∥A1B.

又OD⊂平面AC1D,

A1B平面AC1D,

所以A1B∥平面AC1D.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,

所以BB1⊥AD.

因為AB=AC,D為BC的中點,

所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,

所以AD⊥平面B1BCC1.

又CE⊂平面B1BCC1,

所以AD⊥CE.

因為四邊形B1BCC1為正方形,D,E分別為BC,BB1的中點,

所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.

所以∠BCE+∠C1DC=90°.

所以C1D⊥CE.

又AD∩C1D=D,

所以CE⊥平面AC1D.

(3)如圖,以B1C1的中點G為原點,建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C1(-3,0,0).

由(2)知CE⊥平面AC1D,

所以=(6,-3,0)為平面AC1D的一個法向量.

設(shè)n=(x,y,z)為平面ACC1的一個法向量,

=(-3,0,-4),=(0,-6,0).

可得

令x=1,則y=0,z=-.

所以n=(1,0,-).

從而cos〈,n〉=.

因為二面角C-AC1-D為銳角,

所以二面角C-AC1-D的余弦值為.

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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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