如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,D,E分別為BC,BB1的中點,四邊形B1BCC1是邊長為6的正方形.
(1)求證:A1B∥平面AC1D;
(2)求證:CE⊥平面AC1D;
(3)求二面角C-AC1-D的余弦值.
(1)連接A1C,與AC1交于O點,連接OD.
因為O,D分別為A1C和BC的中點,
所以O(shè)D∥A1B.
又OD⊂平面AC1D,
A1B平面AC1D,
所以A1B∥平面AC1D.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,
所以BB1⊥AD.
因為AB=AC,D為BC的中點,
所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面B1BCC1.
又CE⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥CE.
因為四邊形B1BCC1為正方形,D,E分別為BC,BB1的中點,
所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE.
所以∠BCE+∠C1DC=90°.
所以C1D⊥CE.
又AD∩C1D=D,
所以CE⊥平面AC1D.
(3)如圖,以B1C1的中點G為原點,建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C1(-3,0,0).
由(2)知CE⊥平面AC1D,
所以=(6,-3,0)為平面AC1D的一個法向量.
設(shè)n=(x,y,z)為平面ACC1的一個法向量,
=(-3,0,-4),=(0,-6,0).
由可得
令x=1,則y=0,z=-.
所以n=(1,0,-).
從而cos〈,n〉==.
因為二面角C-AC1-D為銳角,
所以二面角C-AC1-D的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]
P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省高考真題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.
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