Question

實(shí)數(shù)x，y滿足

x≥0 x-2y≥0 2x-y-3≤0

．
（Ⅰ）求z=

y

x+1

的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為3，求t=a•（1+b）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）畫出不等式組表示的可行域，利用z=

y

x+1

的幾何意義，求出它的取值范圍；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的斜率，利用幾何意義通過(guò)最大值為3，得到2a+b=3，利用基本不等式求t=a•（1+b）的最大值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（ I）做可行域如圖中陰影所示．
設(shè)P（x，y）為可行域內(nèi)任一點(diǎn)，M（-1，0）．
則z=

y

x+1

=kPM…1分．
A（2，1），B（0，-3），kMB=-3， kMA=

1

3

…1分
∴z=

y

x+1

∈[-3， 

1

3

]….2分．
（ II）z=ax+by?y=-

a

b

x+

1

b

z
表示一族斜率為-

a

b

(＜0)，縱截距為

1

b

z的平行直線   …1分．
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A（2，1）時(shí)，縱截距最大，z也取最大，z_max=2a+b=3…2分．
t=a•(1+b)=2a•(1+b)×

1

2

≤(

2a+1+b

2

)2×

1

2

=2….2分．
取“=”當(dāng)且僅當(dāng)

2a=1+b 2a+b=3 a＞0，b＞0

即

a=1 b=1

…..1分．
∴t_max=2…1分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，基本上求解表達(dá)式的最值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．