Question

設a，b，c為實數(shù)，f（x）=（x+a）（x²+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx²+bx+1）．記集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}，若|S|，|T|分別為集合元素S，T的元素個數(shù)，則下列結論可能的是

 

①|S|=1且|T|=0   ②|S|=1且|T|=1  ③|S|=2且|T|=2     ④|S|=2且|T|=3．

Answer 1

考點：集合的表示法

專題：計算題,集合

分析：方程（x+a）（x²+bx+c）=0的解的個數(shù)取決于△=b²-4c，至少有一個x=-a；方程（ax+1）（cx²+bx+1）=0的解的個數(shù)取決于a是否等于0及△=b²-4c，討論舉例．

解答： 解：∵方程x²+bx+c=0若有實數(shù)根，則方程cx²+bx+1=0也有實數(shù)根，且相應的互為倒數(shù)，
且若a≠0，則方程x+a=0與方程ax+1=0的根也互為倒數(shù)．
若a=b=c=0，則滿足|S|=1且|T|=0，故①正確；
若a=1，b=0，c=1，則滿足|S|=1且|T|=1，故②正確；
若a=-1，b=2，c=1，則滿足|S|=2且|T|=2，故③正確；
若|T|=3．則方程（ax+1）（cx²+bx+1）=0有三個不同的實根，則他們的倒數(shù)也不同，故|S|=3，則④錯誤．
故答案為①②③．

點評：本題考查了集合中元素的個數(shù)及集合元素的特征，同時考查了二次方程的解，屬于中檔題．