Question

過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.

Answer 1

所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1

解法一: 由e=,得,從而a²=2b²,c=b.
設(shè)橢圓方程為x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在橢圓上.
則x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,兩式相減得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,
設(shè)AB中點(diǎn)為(x₀,y₀),則k_AB=－,又(x₀,y₀)在直線y=x上，y₀=x₀,于是－=－1,k_AB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1.
右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′,y′),

由點(diǎn)(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.
∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.
解法二: 由e=,從而a²=2b²,c=b.
設(shè)橢圓C的方程為x²+2y²=2b²,l的方程為y=k(x－1),
將l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,則x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.
直線l: y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=－1.
若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.