Question

分別以雙曲線G：

x2

2

-

y2

2

=1的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P的坐標為(0，

2

)，在y軸上是否存在定點M，過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出M的坐標和△PAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定雙曲線G的焦點和頂點，從而可得橢圓的頂點與焦點，進而可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在M（0，t），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，AB方程為y=kx+t，代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理結(jié)合

PA

•

PB

=0，即可知M點的坐標存在．求出P到直線的距離，線段AB的長，再由面積公式，化簡整理，換元配方，由二次函數(shù)的最值，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）雙曲線G：x²-y²=2的焦點為（±2，0），頂點為（±

2

，0），
則橢圓的a=2，c=

2

，b=

2

，
所求橢圓方程為C：

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）假設(shè)存在M（0，t），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，
使以AB為直徑的圓恒過點P，
AB方程為y=kx+t，代入橢圓方程，
消去y，得（1+2k²）x²+4tkx+2t²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

-4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-4

1+2k2

，

PA

•

PB

=
（x₁，y₁-

2

）•（x₂，y₂-

2

）=x₁x₂+y₁y₂-

2

（y₁+y₂）+2
=x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）-

2

k（x₁+x₂）-2

2

t+2
=（k²+1）x₁x₂+k（t-

2

）（ x₁+x₂）+t²-2

2

t+2
=（k²+1）

2t2-4

1+2k2

+k（t-

2

）

-4kt

1+2k2

+t²-2

2

t+2
由以AB為直徑的圓恒過點P，可得

PA

•

PB

=0，得3t²-2

2

t-2=0
∴t=

2

（舍去），或t=-

2

3

．
則存在M（0，-

2

3

），過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，
使以AB為直徑的圓恒過點P．
此時，P到直線AB的距離d=

4 2

3 1+k2

，|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|，
S_△PAB=

1

2

|AB|d=

2 2

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

3

32k2 9(1+2k2)2 + 128 9(1+2k2)

=

16

9

9k2+4 (1+2k2)2

，令1+2k²=m，則m≥1，即有

1

m

∈(0，1]，S_△PAB=

16

9

9 2 • 1 m - 1 2 • 1 m2

=

16

9

1 2 [ 81 4 -( 1 m - 9 2 )2]

≤

32

9

，當且僅當m=1，取得最大值，
則△PAB的面積的最大值為

32

9

．

點評：本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的處理，解題要細心．