已知如下圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在PA與PB上，且，，M是PB的中點(diǎn)．

　�。�1）求證：BC⊥PC；

　�。�2）求異面直線EF與MC所成的角；

　�。�3）求直線MC與底面ABC所成的角．

答案：
解析：

（1）證明：∵  ，，

∴  是平面的斜線，是其射影．

　　  又∵  ，由三垂線定理，∴  ．

（2）解：連結(jié)，由題意，知，

　　  ∴（或的補(bǔ)角）為異面直線與所成的角．

　　在△中，，，∴  ．

由，∴  △為等腰直角三角形，∴  ．

∵  為△斜邊中點(diǎn)，∴  ．

　　在Rt△中，．∴  ，∴  ，

　　即所求異面直線與所成的角為．

（3）解：如下圖，∵  且，

　　∴  ，交線為．

　　在平面中，過(guò)作于，  則且．

　　由為中點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，∴  ．

　　在△中，，

　　∴  ，即直線與底面所成的角為．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知如下圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在PA與PB上，且，，M是PB的中點(diǎn)．

　�。�1）求證：BC⊥PC；

　�。�2）求異面直線EF與MC所成的角；

　�。�3）求直線MC與底面ABC所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：導(dǎo)學(xué)大課堂必修二數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：044

如下圖，已知三棱錐P－ABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(1)證明PC⊥平面PAB；

(2)求二面角P－AB－C的平面角的余弦值．

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如下圖，已知三棱錐P－ABC中，E、F分別是以AC、AB的中點(diǎn)，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(1)證明PC⊥平面PAB；

(2)求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；

(3)若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：全優(yōu)設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)－2-1蘇教版 蘇教版 題型：044

如下圖，已知三棱錐P－ABC在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，＝(，m，0)，＝(0，2m，0)，＝(0，0，2n)．

(1)畫(huà)出這個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并指出與Ox的軸的正方向的夾角；

(2)求證：⊥；

(3)若M為BC的中點(diǎn)，n＝m，求直線AM與平面PBC所成角的大�。�

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