Question

2．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若$b-\frac{1}{2}c=acosC$
（1）求角A；
（2）若4（b+c）=3bc，$a=2\sqrt{3}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：$sinB-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得$cosA=\frac{1}{2}$，結(jié)合A為內(nèi)角，即可求A的值．
（2）由余弦定理及已知可解得：b+c=6，從而可求bc=8，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由正弦定理得：$sinB-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$…（2分）
又∵sinB=sin（A+C）
∴$sin（A+C）-\frac{1}{2}sinC=sinAcosC$
即 $cosAsinC=\frac{1}{2}sinC$…（4分）
又∵sinC≠0
∴$cosA=\frac{1}{2}$
又∵A是內(nèi)角
∴A=60°…（6分）
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc…（8分）
∴（b+c）²-4（b+c）=12得：b+c=6
∴bc=8…（10分）
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．