Question

已知f(x)是定義在集合M上的函數(shù)．若區(qū)間D⊆M，且對(duì)任意x0∈D，均有f(x0)∈D，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上封閉．

(1)判斷f(x)＝x－1在區(qū)間[－2,1]上是否封閉，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)g(x)＝在區(qū)間[3,10]上封閉，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)h(x)＝x3－3x在區(qū)間[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封閉，求a，b的值．

 

Answer 1

（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上不是封閉的

（2）[3,31]

（3）a＝－2，b＝2

【解析】【解析】
(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－3,0]．

而[－3,0]?[－2,1]，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上不是封閉的．

(2)因?yàn)間(x)＝＝3＋.

①當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)g(x)＝3，顯然{3}⊆[3,10]，故a＝3滿足題意；

②當(dāng)a>3時(shí)，在區(qū)間[3,10]上，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720453947869819/SYS201411172045442288513817_DA/SYS201411172045442288513817_DA.003.png">.

由⊆[3,10]

得，解得3≤a≤31，

故3<a≤31；

③當(dāng)a<3時(shí)，在區(qū)間[3,10]上，有g(shù)(x)＝3＋<3，不合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,31]．

(3)因?yàn)閔(x)＝x3－3x，

所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

因?yàn)楫?dāng)x<－1或x>1時(shí)，h′(x)>0；

當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，h′(x)＝0；

當(dāng)－1<x<1時(shí)，h′(x)<0，

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．

從而h(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2.

由題意知

即

解得

因?yàn)閍<b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.

又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.

①當(dāng)a＝－2時(shí)，因?yàn)閎>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－2，b＝2符合題意；

②當(dāng)a＝－1時(shí)，由h(－1)＝2，得b＝2，此時(shí)h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合題意；

③當(dāng)a＝0時(shí)，顯然不符合題意．

綜上所述，a＝－2，b＝2.