Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=1，BC=

3

2

，AA₁=2；點D在棱BB₁上，BD=

1

3

BB₁；
B₁E⊥A₁D，垂足為E，求：
（Ⅰ）異面直線A₁D與B₁C₁的距離；
（Ⅱ）四棱錐C-ABDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)線面垂直的判定定理可知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B₁C₁⊥B₁E，B₁E⊥A₁D，則B₁E是異面直線B₁C₁與A₁D的公垂線，利用等面積法求出B₁E的長；
（Ⅱ）根據(jù)BC∥B₁C₁，可得BC⊥平面ABDE，從而BC為四棱錐C-ABDE的高．從而所求四棱錐的體積V為V=V_C-ABDE=

1

3

×BC×S，其中S為四邊形ABDE的面積，過E作EF⊥BD，垂足為F．利用等面積法求出EF，而S=S_△A1AE-S_△A1AE-S_△A1B1D即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）由直三棱柱的定義知B₁C₁⊥B₁D，又因為∠ABC=90°，
因此B₁C₁⊥A₁B₁，從而B₁C₁⊥平面A₁B₁D，得B₁C₁⊥B₁E．又B₁E⊥A₁D，
故B₁E是異面直線B₁C₁與A₁D的公垂線
由BD=

1

3

BB1知B1D=

4

3

，
在Rt△A₁B₁D中，A₂D=

A1 B 2 1 +B1D2

=

1+( 4 3 )2

=

5

3

．
又因S△A1B1D=

1

2

A1B1•B1D=

1

2

A1D•B1E．
故B₁E=

A1B1•B1D

A1D

=

1• 4 3

5 3

=

4

5

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，又BC∥B₁C₁，故BC⊥平面ABDE，
即BC為四棱錐C-ABDE的高．從而所求四棱錐的體積V為
V=V_C-ABDE=

1

3

×BC×S，
其中S為四邊形ABDE的面積．如圖1，過E作EF⊥BD，垂足為F．
在Rt△B₁ED中，ED=

B1D2-B1E2

=

( 4 3 )2-( 4 5 )2

=

16

15

，
又因S_△B1ED=

1

2

B1E?DE=

1

2

B1D?EF，
故EF=

B1E?DE

B1D

=

16

25

．
因△A₁AE的邊A₁A上的高h=A1B1-EF=1-

16

25

=

9

25

，故
S_△A1AE=

1

2

A1A?h=

1

2

•2•

9

25

=

9

25

．
又因為S_△A1BD=

1

2

A1B1•B1D=

1

2

•2•

4

3

=

2

3

，從而
S=S_△A1AE-S_△A1AE-S_△A1B1D=2-

9

25

-

2

3

=

73

75

．
所以V=

1

3

?S?BC=

1

3

•

73

75

•

3

2

=

73

150

．

點評：本題主要考查了異面直線的距離，以及三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．