分析:(Ⅰ)先根據(jù)線面垂直的判定定理可知B
1C
1⊥平面A
1B
1D,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知B
1C
1⊥B
1E,B
1E⊥A
1D,則B
1E是異面直線B
1C
1與A
1D的公垂線,利用等面積法求出B
1E的長;
(Ⅱ)根據(jù)BC∥B
1C
1,可得BC⊥平面ABDE,從而BC為四棱錐C-ABDE的高.從而所求四棱錐的體積V為V=V
C-ABDE=
×BC×S,其中S為四邊形ABDE的面積,過E作EF⊥BD,垂足為F.利用等面積法求出EF,而S=S
△A1AE-S
△A1AE-S
△A1B1D即可求出所求.
解答:解:(Ⅰ)由直三棱柱的定義知B
1C
1⊥B
1D,又因為∠ABC=90°,
因此B
1C
1⊥A
1B
1,從而B
1C
1⊥平面A
1B
1D,得B
1C
1⊥B
1E.又B
1E⊥A
1D,
故B
1E是異面直線B
1C
1與A
1D的公垂線
由
BD=BB1知
B1D=,
在Rt△A
1B
1D中,A
2D=
==.
又因
S△A1B1D=A1B1•B1D=A1D•B1E.
故B
1E=
==.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B
1C
1⊥平面A
1B
1D,又BC∥B
1C
1,故BC⊥平面ABDE,
即BC為四棱錐C-ABDE的高.從而所求四棱錐的體積V為
V=V
C-ABDE=
×BC×S,
其中S為四邊形ABDE的面積.如圖1,過E作EF⊥BD,垂足為F.
在Rt△B
1ED中,ED=
==,
又因S
△B1ED=
B1E?DE=B1D?EF,
故EF=
=.
因△A
1AE的邊A
1A上的高
h=A1B1-EF=1-=,故
S
△A1AE=
A1A?h=•2•=.
又因為S
△A1BD=
A1B1•B1D=•2•=,從而
S=S
△A1AE-S
△A1AE-S
△A1B1D=2-
-=.
所以
V=?S?BC=••=.
點評:本題主要考查了異面直線的距離,以及三棱錐的體積的計算,體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn),值得重視.