如圖：已知四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2有的正三角形，底面ABCD是菱形，O是AD的中點，PB⊥BC，PB＝3．

(1)求證AD⊥平面PBO；

(2)求點A到平面PBC的距離；

(3)求二面角A－PB－C的大�。�

答案：
解析：

　　解：(1)O是AD的中點，∴POAD，

　　又PBBC，AD∥BC，∴ADPB

　　∴AD平面PBO　6分

　　(2)由(1)知：平面PBO平面ABCD，ADBO，

　　以O(shè)為原點，OA、OB所在的直線分別為X、Y軸建立坐標(biāo)系如圖，可得：

　　O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，

　　設(shè)P的坐標(biāo)為(0，y，z)，由OP＝，BP＝3可得

　　得P(0，

　　取PB的中點E，連結(jié)AE、OE則易求得

　　

　　∴OE為平面PBC的法向量，

　　∴所求距離為　10分

　　另解：可證OE即為所求距離(略)

　　(3)由(2)知所求的二面角A－PB－C的余弦值為

　　∴．所以二面角的大小為．　14分

　　方法二提要：(2)A到平面PBC的距離就是OE的長．

　　(3)

　�。�0＋4cos1200＝－2，

　　可得二面角的大小為．

　　方法三：取PC中點F，∠AEF即為所求二面角的平面角(略)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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