Question

已知g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A在函數(shù)f(x)=log

3

(x+a)的圖象上：
（1）求使g（x）=2對應的x值；
（2）若f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差數(shù)列，求x的值．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=2，變形后，利用零指數(shù)的運算法則求出x的值即可；
（2）由第一問求出的x的值，得到g（x）恒過定點A的坐標，由A在f（x）圖象上，將A的坐標代入，利用對數(shù)的運算法則計算，得出a的值，確定出f（x）的解析式，進而根據(jù)f（x）解析式，利用對數(shù)的運算法則求出f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）的值，由f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，將各自的值代入列出關于x的方程，求出方程的解即可得出x的值．

解答：解：（1）令g（x）=（a+1）^x-2+1=2，解得：x=2；（4分）
（2）由（1）得到g（x）圖象恒過定點A（2，2），又A在f（x）圖象上，
∴f（2）=2=

log

(2+a) 3

，解得：a=1，（6分）
∴f（x）=

log

( x+1) 3

，
∴f（

3

-1）=

log

3 3

=1，f（x-3）=

log

(x-2) 3

，f（x-5）=

log

(x-4) 3

，
又f（x-3），f（

3

-1），f（x-5）成等差數(shù)列，
∴2f（

3

-1）=f（x-3）+f（x-5），即

log

(x-2) 3

+

log

(x-4) 3

=2，
整理得：（x-2）（x-4）=3，即x²-6x+5=0，
解得：x=1或x=5，
又

x-2＞0 x-4＞0

，解得：x＞4，
則x的值為5．（12分）

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)的運算法則，對數(shù)函數(shù)的定義域，指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運算法則是解本題的關鍵．