Question

（2012•江蘇一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為

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（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出O點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離，進(jìn)而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時(shí)，直線l的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，求出直線MP、NP分別與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可求mn的值．

解答：解：（1）因?yàn)镺點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離為

1

2

，（2分）
所以圓O的半徑為

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
故圓O的方程為x²+y²=2．                         （4分）
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切，得

|ab|

a2+b2

=

2

，即

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，（6分）
DE2=a2+b2=2(a2+b2)(

1

a2

+

1

b2

)≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0．（10分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，
直線MP與x軸交點(diǎn)(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，m=

x1y2-x2y1

y2-y1

，
直線NP與x軸交點(diǎn)(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，n=

x1y2+x2y1

y2+y1

，（14分）
mn=

x1y2-x2y1

y2-y1

×

x1y2+x2y1

y2+y1

=

x12y22-x22y12

y22-y12

=

(2-y12)y22-(2-y22)y12

y22-y12

=2，
故mn為定值2．                                （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．