Question

函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若滿足對任意x∈A（其中A為定義域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，則稱區(qū)間A為f（x）的一個“保號”區(qū)間（或稱f（x）在區(qū)間A內(nèi)具備“保號”性質(zhì)）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)具備“保號”性質(zhì)，當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）+2的最大“保號”區(qū)間；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)不具備“保號”性質(zhì)，且f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，在（0，1）內(nèi)討論xf（x）與

1

x

f（

1

x

）的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出F（x）=e^axf（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)“保號”性質(zhì)可確定，F(xiàn)′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，從而可判斷F（x）的單調(diào)性；
（2）求出f′（x），然后根據(jù)“保號”的定義，分情況驗證即可；
（3）由（1）的結(jié)論：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)o＜x＜1時，

1

x

＞x，可得：f(x)＞e

1

x

-xf(

1

x

)，設(shè)h(x)=

1

x

-x+2lnx(0＜x＜1)，則h（x）在（0，1）遞減，從而f（x）＞e

1

x

-xf(

1

x

)＞

1

x2

f(

1

x

)，即f(x)＞

1

x2

f(

1

x

)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)具備“保號”性質(zhì)，
∴在（0，+∞）有f（x）＞0，f′（x）＞0，
又a＞0，
∴F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，
∴F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
（2）f（x）定義域為（-1，+∞），
f′(x)=ex-

1

x+1

=

ex(x+1)-1

x+1

．
顯見，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0；
當(dāng)x=0時，f′（x）=0；
當(dāng)-1＜x＜0時，f′(x)=ex-

1

x+1

為增函數(shù)，f′（x）＜0．
又f（0）=3，由上f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故在（0，+∞）有f（x）＞0
綜上，所求f（x）最大“保號”區(qū)間為（0，+∞）．
（3）結(jié)論：xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．證明如下：
當(dāng)o＜x＜1時，

1

x

＞x，
由（1）的結(jié)論：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)
∴exf(x)＞e

1

x

f(

1

x

)．
即：f(x)＞e

1

x

-xf(

1

x

)，
設(shè)h(x)=

1

x

-x+2lnx(0＜x＜1)，
則h′(x)=-

1

x2

-1+

2

x

=-

(x-1)2

x2

＜0，
∴h（x）在（0，1）遞減，
故h（x）＞h（1）=0，即

1

x

-x＞-2lnx．
則e

1

x

-x＞

1

x2

，
∴f（x）＞e

1

x

-xf(

1

x

)＞

1

x2

f(

1

x

)
即f(x)＞

1

x2

f(

1

x

)，
∴xf（x）＞

1

x

f(

1

x

)．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及新概念題的處理能力，屬于難題．