Question

若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小值為-2，且它的圖象經(jīng)過點（0，

3

）和（

5π

6

，0）．
（1）寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式f（x）；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，

π

8

]上單調(diào)遞增，求此函數(shù)所有可能的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上恰有一個最大值和最小值，求ω的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，易求A=2，φ=

π

3

；又它的圖象經(jīng)過點（

5π

6

，0），可得

5π

6

ω+

π

3

=kπ，k∈Z．分點（

5π

6

，0）為半周期點與整周期點討論，即可求得滿足條件的函數(shù)解析式；
（2）f（x）=2sin（ωx+

π

3

），最大的值點ωx+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

6ω

，令

π

6ω

≥

π

8

，可解得ω的取值范圍，從而可得函數(shù)所有可能的解析式；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減性質(zhì)，可求得其單調(diào)遞減區(qū)間[

2kπ

ω

+

π

6ω

，

2kπ

ω

+

7π

6ω

]，（k∈Z），由

7π

6ω

≤2與

2π

ω

+

π

6ω

＞2可得ω的取值范圍，從而可得ω的值．

解答： 解：（1）依題意知，A=2，f（0）=2sinφ=

3

，即sinφ=

3

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

；
∴f（x）=2sin（ωx+

π

3

）；
又它的圖象經(jīng)過點（

5π

6

，0），
∴

5π

6

ω+

π

3

=kπ，k∈Z．
當(dāng)點（

5π

6

，0）為半周期點時，

5π

6

ω+

π

3

=π⇒ω=

5

4

；
當(dāng)點（

5π

6

，0）為整周期點時，

5π

6

ω+

π

3

=2π⇒ω=2．
∴滿足條件的函數(shù)解析式為f（x）=2sin（

5

4

x+

π

3

）或f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在（0，

π

8

]上單調(diào)遞增，
∵f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
最大的值點ωx+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

6ω

，
令

π

6ω

≥

π

8

，解得0＜ω≤

4

3

；
∴函數(shù)f（x）在（0，

π

8

]上單調(diào)遞增，ω取值范圍為ω∈（0，

4

3

]，
∵ω=

4

5

＜

4

3

滿足題意，ω=2＞

4

3

不滿足題意，
綜上：滿足題意，且在（0，

π

8

]上單調(diào)遞增的函數(shù)解析式只有f（x）=2sin（

4

5

x+

π

3

）；
（3）∵f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
∴單調(diào)遞減區(qū)間可由下面的不等式獲得：
2kπ+

π

2

≤ωx+

π

3

≤2kπ+

3π

2

?

2kπ

ω

+

π

6ω

≤x≤

2kπ

ω

+

7π

6ω

，（k∈Z）；
令

7π

6ω

≤2，則ω≥

7π

12

；
由

2π

ω

+

π

6ω

＞2得，ω＜

13π

12

，
∴在[0，2]上恰有一個最大值和最小值，ω∈[

7π

12

，

13π

12

）
函數(shù)f（x）滿足題意，且在[0，2]上恰有一個最大值和最小值，ω=2．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查綜合分析與應(yīng)用能力，屬于難題．