Question

在一次對某班42名學(xué)生參加課外籃球、排球興趣小組（每人參加且只參加一個興趣小組）情況調(diào)查中，經(jīng)統(tǒng)計得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）

	籃球	排球	總計
男同學(xué)	16	6	22
女同學(xué)	8	12	20
總計	24	18	42

（Ⅰ）據(jù)此判斷是否有95%的把握認為參加“籃球小組”或“排球小組”與性別有關(guān)？
（Ⅱ）在統(tǒng)計結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從兩個興趣小組中隨機抽取7名同學(xué)進行座談．已知甲、乙、丙三人都參加“排球小組”．
①求在甲被抽中的條件下，乙丙也都被抽中的概率；
②設(shè)乙、丙兩人中被抽中的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
下面臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）①方法一：令事件A為“甲被抽到”；事件B為“乙丙被抽到”，則P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

；方法二：令事件C為“在甲被抽到的條件下，乙丙也被抽到”，則P（C）=

C 2 2

C 2 17

；
②由題知X的可能值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值
k=

42×(16×12-8×6)2

24×18×20×22

=

252

55

≈4.582＞3.841．…2分
所以，據(jù)此統(tǒng)計有95%的把握認為參加“籃球小組”或“排球小組”與性別有關(guān)．…4分
（Ⅱ）①由題可知在“排球小組”的18位同學(xué)中，要選取3位同學(xué)．
方法一：令事件A為“甲被抽到”；事件B為“乙丙被抽到”，則
P（A∩B）=

C 3 3

C 3 18

，P（A）=

C 2 17

C 3 18

．
所以P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

=

C 3 3

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．…7分
方法二：令事件C為“在甲被抽到的條件下，乙丙也被抽到”，
則P（C）=

C 2 2

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．
②由題知X的可能值為0，1，2．
依題意P（X=0）=

C 3 16

C 3 18

=

35

51

；P（X=1）=

C 2 16 C 1 2

C 3 18

=

5

17

；P（X=2）=

C 1 16 C 2 2

C 3 18

=

1

51

．
從而X的分布列為

X	0	1	2
P	35 51	5 17	1 51

…10分
于是E（X）=0×

35

51

+1×

5

17

+2×

1

51

=

17

51

=

1

3

．…12分．

點評：考查分類變量的獨立性檢驗，條件概率，隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等，中等題．